追突された直後は大丈夫だったんですが、翌日に痛みが出てきたんですけど保険で補償されますか？

運悪く他車に追突されてしまったものの、大きな事故にはならず痛みもないため怪我もなかったと安心するのは危険です。
事故直後は興奮状態で痛みを感じにくくなっていますし、むちうちなどは翌日以降に痛みが出ることがあるからです。
もし事故直後はなんともなかったのに翌日以降に痛みが出た場合、保険で補償してもらうことは可能なのでしょうか。

やはり事故の対応によって変わってきます

たとえばお互いに怪我もなく、車の損害もごくわずかだったからと警察に事故届けを出さず、保険会社にも連絡せずにお互いの話し合いだけで終わらせてしまった場合、その後に痛みが出てもその治療費は自己負担になるのが普通です。
なぜかというと保険金を受け取るためには事故が起きたことを証明する交通事故証明書が必要になるのですがこのケースでは警察に連絡をしていませんからこの書類をもらうことができません。
保険会社にも連絡していませんから誰も事故を起きたことを知らず、自分も事故を証明することができません。
相手が親切な方なら場合によっては治療費を支払ってくれることがあるかもしれませんが、相手が知らないと言ってしまえばそれ以上できることはありません。

怪我をしたら必ずすぐに痛みを感じるわけではありませんので、事故が発生したらまずは警察を呼ぶようにしましょう。
保険会社にも連絡をし、そのうえで病院で診察をしてもらいます。

診察の結果体に怪我や異常があるなら人身事故として警察に処理をしてもらい、交通事故証明書を使って保険会社に保険金の請求をします。

痛みがない場合は体のどの部分を怪我しているのかわからないので念の為全身を診察してもらうのがいいでしょう。

最低限の対応をしないと保険金は請求できない？

このように、必要な対応をしていなければたとえ怪我をしていても保険金の請求ができない可能性が出てきます。
事故の処理は面倒ですし、お互いに大したことがなければその場で終わらせてしまいたくなるものですがそれは危険です。
後になって重大な怪我が見つかる可能性もあり、特に頭を打っている場合は大きなリスクが伴います。